Nació en 1898 en Madrid en el seno de una familia que le indujo a estudiar Ingeniería y Derecho, carreras que abandonó al poco tiempo para dedicarse a la pintura. Estudió en el taller de Cecilio Plá y durante tres años se dedicó a copiar a Velázquez y Tiziano en el Museo del Prado. Entró en contacto con el ambiente intelectual y artístico madrileño, y con la Revista de Occidente, dirigida por José Ortega y Gasset.

En 1923 se relacionó con los miembros del movimiento ultraísta madrileño. En la Academia libre de Julio Moisés coincidió con Dalí y Benjamín Palencia, y participó asiduamente en las tertulias de los Cafés Gijón y Pombo, al tiempo que iniciaba su amistad con artistas del movimiento como Guillermo de la Torre,  Carlos Sáenz de Tejada, Francisco Santa Cruz, Wladyslaw Jahl y Marjan Paszlewicz. Realizó ilustraciones para  revistas ultraístas, como España, Tobogán y Alfar, y fue colaborador de ediciones periódicas de Índice  (dirigida por Juan Ramón Jiménez), Horizonte, El Sol, Cruz y Raya y Revista de Occidente, entre otras.

Unió su esfuerzo a la causa republicana, y firmó, junto con Maruja Mallo, Vázquez Díaz, Pancho Cossío, Arturo Souto y Pérez Rubio, el manifiesto de reaparición del grupo que encarnaba la Sociedad de Artistas Ibéricos. En 1925 participó en la Exposición de la Sociedad de Artistas Ibéricos celebrada en Madrid, y poco después viajó a París siguiendo los pasos de su amigo Pancho Cossío. Se instaló en Montparnasse y conoció a Picasso y a Juan Gris. Formó parte del grupo español de la Escuela de París  con el citado Pancho Cossío, Joaquín Peinado, Viñes, J. de Echevarría y José Togores.

En su obra realiza una síntesis de las experiencias del arte de principios de siglo y comentó: «los pintores de quienes me sentía hermano estaban tocados por el surrealismo: Miró, Lurcat y mis compatriotas Viñes, Cossío, Peinado. Hemos intentado una pintura a modo de síntesis […] entre la herencia plástica de Braque y de Cézanne y las exigencias del lirismo^”.

Firmó sucesivos contratos con las galerías Percier, Max Eisenberger y Simón de D.H. Kahnweiler. Picasso le presentó a Tériade, crítico y editor, que se convirtió en el principal defensor de su obra.

En el año 1935 se reunió con su mujer por problemas económicos y vivió en Madrid hasta el estallido de la Guerra Civil. Durante la Segunda Guerra Mundial estuvo en París, y cuando llegaron los alemanes se trasladó con su amigo Matisse a San Juan de Luz. En 1943, ante el empeoramiento de la situación en Francia, volvió a Madrid. Sin embargo, más tarde regresará a París.  En 1966  fue nombrado Officer de L’Orde des Arts et des Lettres. Se dedicó también a la realización de vidrieras (Capilla del Seminario de Montbrison) y a la estampación de grabados. Ilustró libros como La rosa de los vientos, de José María Hinojosa, El Decamerón negro, de León Frobenius (colección Revista de Occidente), y Llanto por la muerte de Ignacio Mejías, de Lorca.

Bores pertenece al grupo de pintores que no fueron reconocidos en su tierra natal. En el año 1971 celebró su primera exposición individual en España. Sus herederos legaron al Estado Español un conjunto de pinturas, gouaches, dibujos y documentos, depositados en el MNCARS de Madrid. Desde 1922 su obra recorre las más prestigiosas salas del mundo, además de formar parte de diversas colecciones institucionales.